先前我们探讨了在连续性条件下，求和与求积、求和与求导以及求和与取极限之间的交换性。现在，让我们进一步证明这些结论的背后逻辑。
一个重要的定理揭示了极限运算的交换性。这意味着在特定条件下，我们可以在运算中灵活调整位置的顺序。
当我们谈到函数项级数时，可以通过一致收敛函数列的性质来引出下面的三个重要定理。
这些定理强调了在一致收敛的情境下，求和与求极限的运算可以互换顺序。这是数学分析中一个非常有用的概念。
另一个定理则指出了在一致收敛的条件下，求和与求积分运算也可以交换顺序。这为我们在实际运算中提供了更多的灵活性和可能性。
还有一条定理值得注意，即在一致收敛的情境下，求和与求导运算同样可以交换顺序。但值得注意的是，一致收敛是这两类运算能够交换的充分条件，而非必要条件。
关于圆周率的级数，有一个引人入胜的历史发现。在十五世纪，印度数学家玛德瓦通过逐项积分的方法得到了其函数项级数。要了解这个过程，首先得提到arctan(x)这个超越函数。尽管它看似复杂，但其导函数却是有理函数1/(1+x^2)。
这种情况其实在数学中并不罕见。比如在之前的文章《椭圆函数理论的核心地位》中，我们提到了椭圆积分的导函数同样是一个有理函数。以1/(1+x^2)为例，我们可以通过牛顿二项式（广义二项式定理）将其展开成无穷级数，如1-x^2+x^4-x^6+…，且在(-1，1)上具有一致收敛性。我们可以逐项积分得到arctan(x)在这个区间上的无穷级数。
这个无穷级数在[1, 1]区间上同样具有一致收敛性。当我们令x=1时，就能得到关于圆周率的著名无穷级数。