引言
随着机械行业的竞争加剧以及产品高端化趋势和全球工业的推动，数字化转型已成为企业的核心战略。借助数字化仿真技术，我们能够实现全价值链的数字化仿真分析优化，提前发现并解决问题，事后进行量化分析改善，从而全面提升产品的开发效率和可靠性。作为一名从结构设计转向CAE仿真的从业者，我深知对非力学专业出身的学习者而言，CAE仿真的学习难度不仅在于软件操作，更在于对理论基础的理解和掌握。
当我初次接触CAE时，我也有许多疑惑，比如为什么要进行网格划分、网格节点编号的物理意义是什么、为何网格质量如此重要以及单元积分点究竟指的是什么等等。我想结合自己的工作和学习体会，与大家分享有限元仿真的相关知识，讲好每一课，共同感受CAE的魅力。
1. 弹学基本方程
在弹学分析中，我们需要通过静力分析、几何分析和物理分析来建立描述物体变形状态和应力状态的基本方程，将力学问题转化为偏微分方程的边值问题。这些方程包括平衡方程、几何方程和物理方程。
1.1 平衡方程
平衡方程描述了应力分量和体力分量之间的微分关系。在直角坐标系下，微元体的应力分布如图1-1所示。通过泰勒展开，我们可以得到各面的正应力和切应力。根据微元体各力对x、y、z的合力矩为0，我们可以得到切应力互等定理。平衡方程可以矩阵表示为：A+b=0，其中A为微分算子矩阵，为应力列阵，b为体力列阵。
图1-1 微元体应力分布图
1.2 几何方程
几何方程描述了应变分量和位移分量之间的微分关系。如图1-2所示为微元体的二维应变图。假设P点的坐标为(x,y)，PA=dx,PB=dy，P’是P点在x方向移动u，在y方向移动v的点。几何方程可以矩阵描述为：=Lu，其中为应变列阵，u为位移列阵，L为微分算子矩阵。
图1-2 微元体二维应变图
1.3 物理方程
物理方程描述了应力分量和应变分量的关系。对于各项材料，根据广义胡克定律，我们可以得到物理方程。用应变表示应力的形式为：=S，其中S为柔度矩阵。弹性体的物理方程也可以用矩阵形式进行描述。
2. 边界条件
在求解弹学问题时，除了基本方程外，还需要定义边界条件。在弹性体的边界上，已知的外力称为应力边界条件，已知的位移称为位移边界条件。应力边界条件可以矩阵表示为：n=P，其中为应力矩阵，n为方向余弦矩阵，P为已知面力矩阵。位移边界条件可以表示为：u=u0，其中u0为已知位移列阵。
3. 最小势能原理
最小势能原理指出，在所有可能的位移场中，真实的位移场使总势能泛函取最小值。根据这一原理，真实位移场使得弹性体势能泛函的变分为零。弹性体的总势能是应变势能Vp与外力势能之和。根据物理方程和几何方程，应力分量可以用位移分量表示，因此弹性体的总势能可以表示为自变量为位移函数的函数。根据最小势能原理，弹性问题被转化为求势能泛函极值的问题。通过对特定问题的讲解和分析，我们可以更好地理解这一原理的应用。例如对于简支梁在均布载荷作用下的挠度问题，我们可以利用最小势能原理来求解。假设近似解的形式并构建总势能函数根据最小势能原理求解得到相关的参数进而得到梁的挠度方程通过类似的实例讲解我们可以逐渐掌握如何利用最小势能原理来解决实际问题并深入理解弹学的基本原理和方法。课后问题：尝试根据梁的边界条件假设不同的挠曲线方程近似解并求解结果如何？